НиД (10) - Лекция №6 - Методы расчёта с элементами ТМО

Материал из Кафедра ИУ5 МГТУ им. Н.Э.Баумана, студенческое сообщество
Перейти к навигации Перейти к поиску

Краткая теория СМО

Тут Кузовлев рассказал всю ТМО за десять минут. А мы будем слушать всё это у Чистова целый семестр.

Системы бывают:

  • однофазные (заявка проходит одну фазу - очередь и блок ОА);
  • многофазные (заявка проходит несколько фаз).

Ещё бывают:

  • одноканальные - один ОА;
  • многоканальные - несколько параллельно включённых ОА.

Приоритеты заявок

Если в системе существуют разные типы заявок, то это означает, что у заявок разный приоритет. С приходом заявки более высокого приоритета обслуживание заявки более низкого приоритета прекращается.

Заявки одинакового приоритета обслуживаются по FIFО или LIFO.

Система может быть с дообслуживанием (прерванные заявки потом дообслуживаются), а может быть без него.

Методы расчёта с элементами ТМО

ТМО используется для анализа надёжности как восстанавливаемых (если закон восстановления экспоненциальный), так и невосстанавливаемых систем (если функция распределения времени наработки на отказ является экспоненциальной).

Если методом можно анализировать не только в случае неограниченного восстановления, но и в случае органиченного, если удаётся описать функцию надёжности.

Метод Колмогорова

Метод основан на представлении функции надёжности в виде совокупности функций, решаемых в системе линейных дифференциальных уравнений. Эта система уравнений составляется на основе вероятностного графа состояний.

Пример:

Все элементы находятся в горячем резерве. Восстановление ограниченное. Есть только один ремонтник (ОА). Отдельные элементы могут быть либо рабочими, либо нерабочими, промежуточных состояний нет.

Чтобы построить вероятностный граф, надо выбрать, что принимается за состояние системы. Их множество - $$\xi (t)$$. Сами они вот:

Далее стрелками обозначаются возможные переходы из одного в другое (разметка графа):

Теперь над каждой стрелкой проставить интенсивность перехода (количество $$\lambda$$):

В виде СМО система выглядит так:

Теперь можно проставить интенсивности обратных переходов (количество $$\mu$$):

У каждого состояния есть вероятность. Общая функция работоспособности системы тогда: $$F(t) = P_0(t) + P_1(t) + P_2(t)$$

Теперь рассмотрим ситуацию, когда ремонтников (ОА) больше, чем один. Такие системы бывают:

  • с взаимопомощью (если второй свободен, то он помогает первому, но это не значит, что ремонт будет сделан ровно в два раза быстрее);
  • без взаимопомощи (если второй свободен, то он просто стоит и покуривает).

Возьмём без взаимопомощи:

Интенсивности переходов ($$\mu$$) изменятся:

Система уравнений

В соответствии с вероятностным графом состояний составляется система линейных дифференциальных уравнений.

Правила составления системы уравнений:

  1. количество уравнений в системе соответствует количеству состояний системы (в нашем примере 6);
  2. для каждого состояния системы уравнение составляется так:
    1. в левой части записывается производная вероятности рассматриваемого состояния по $$t$$, в правой части находится столько слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием;
    2. каждое слагаемое представляет собой произведение интенсивности на вероятность состояния, из которого стрелка исходит. Причём, произведение берётся со знаком плюс, если стрелка входящая для рассматриваемого состояния, и со знаком минус - если исходящая;
  3. уравнение заменяется нормировочным условием - сумма всех состояний $$\sum_{i=0}^t P_i(t) = 1$$.

Система уравнений для нашего примера:

$$P_0^\prime = -5\cdot\lambda\cdot P_0(t) + \mu\cdot P_2(t)$$

$$P_1^\prime = -4\cdot\lambda\cdot P_1(t) - \mu\cdot P_1(t) + 2\cdot\mu\cdot P_2(t) + 5\cdot\mu\cdot P_0(t)$$

и так далее.

Если есть стационарный (установившийся) режим, то вероятность нахождения в состоянии уже не буде зависеть от времени.

$$\rho = \frac{\lambda}{\mu} \ll 1$$

В этом случае, производные в левой части уравнений будут равны нулю. Тогда мы получим систему линейных алгебраических уравнений:

$$0 = -5\cdot\lambda\cdot P_0 + \mu\cdot P_2$$

$$0 = -4\cdot\lambda\cdot P_1 - \mu\cdot P_1 + 2\cdot\mu\cdot P_2 + 5\cdot\mu\cdot P_0$$

и так далее. Решая эту систему, и в соответствии с дополнительными условиями, можно определить интересующие нас показатели:

  • вероятность отказа;
  • коэффициент готовности;
  • и другие.