НиД (10) - Лекция №5 - Расчёт восстанавливаемых систем

Материал из Кафедра ИУ5 МГТУ им. Н.Э.Баумана, студенческое сообщество
Перейти к навигации Перейти к поиску

Показатели надёжности восстанавливаемых систем

Восстановление - какой-либо ремонт: замена, устранение неисправностей.

Самопроизвольное восстановление считается сбоем - не сам факт восстановления, а то, что произошла неисправность и сама же исчезла, и система самовосстановилась.

Восстанавливаемые вне процесса применения

Такие системы можно считать системами с мгновенными восстановлением.

Поток отказов:

Суммарная наработка на отказ до возникновения $$n$$-го отказа: $$T_n = T_1 + T_2 + ... + T_n$$

Поток отказов можно описывать:

  • ведущей функцией потока отказов $$\Omega$$ - число отказов на интервале от $$0$$ до $$t$$;
  • параметром потока отказов - $$\omega$$ - среднее число отказов в малом интервале времени.

Если потоки событий являются ординарными - когда вероятность появления двух и более одновременных событий бесконечно мала по сравнению с вероятностью появления одного события - то параметр $$\Omega$$ = $$\omega$$

Вероятность исправной работы:

$$$P(\vartriangle t) = exp(-\int^{t_2}_{t_1}\omega\cdot\vartriangle (t)dt)$$$

Всё это верно для систем с ограниченным последействием - вероятность появления отказа на интервале $$(t_1, t_2)$$ зависит от наработки, накопленной от последнего отказа, и не зависит от того, когда произошли предыдущие отказы.

Для реальных систем:

$$$\omega_{службы} = \frac{1}{t_{службы} }\cdot\int_0^{t_р} \omega (t)dt$$$

$$$\omega = \frac{1}{m_{t_р} } $$$

Восстанавливаемые в процессе применения

Системы, в которых недопустимы перерывы в работе, также восстанавливаются в процессе применения. Это возможно благодаря избыточности (наличию резерва), присутствующей в этих системах.

Готовность - способность системы находиться в процессе эксплуатации в работоспособном состоянии и быть готовой к применению.

Функция распределения времени работы: $$f(t)$$

Функция распределения времени восстановления: $$q(t)$$

Функция распределения восстановления системы - композиция этих двух потоков:

$$$f_0(t) = \int_0^t f(x)\cdot q(t - x)dx$$$

Поток восстановления: $$\omega_0(t)$$

Функция готовности системы: $$Г(t)$$

Функция простоя (неготовности) системы: $$П(t) = 1 - Г(t)$$

$$$Г(t) = P(t) + \int_0^t P(t - \tau)\cdot\omega_0(\tau)d\tau$$$

Коэффициент готовности:

$$$Г(t) = \frac{1}{m_{t_р} + m_{t_0} }\cdot\int_0^\infty P(t)dt = \frac{m_{t_р} }{m_{t_р} + m_{t_0} } = К_Г$$$

Для восстанавливаемых систем $$К_Г$$ должен дополняться ещё другими характеристиками (минимум две), потому что коэффициенты для двух случаев, например, могут быть равны, но в первом система 1 час работала и 3 часа восстанавливалась, а вторая 3 часа работала и 1 час восстанавливалась.

$$\overline{К_Г} = \frac{1}{t_сл}\int_0^{t_{ср} } Г(t)dt$$ - для случая неограниченного восстановления.

$$К_Г = \frac{m_{t_р} }{m_{t_р} + m_{t_0} } = \frac{\mu}{\mu + \lambda}$$

$$Г(t) = \frac{\mu}{\mu + \lambda} + \frac{\lambda}{\mu + \lambda}\cdot exp(-(\mu + \lambda))\cdot t$$

$$\rho = \frac{\lambda}{\mu}$$ - коэффициент загрузки

$$К_Г = \frac{1}{1 + \rho}$$

При увеличении $$\rho$$ коэффициент готовности уменьшается, но стационарный режим устанавливается быстрее.

$$$Г(t) = \frac{1}{1 + \rho}\cdot (1 + \rho\cdot e^{-\mu\cdot(1 + \rho)\cdot t}) $$$

$$$Г(t) = К_Г + (1 - К_Г)\cdot e^{-\frac{t}{К_Г\cdot m_{t_в} } } $$$

Если $$\lambda = const$$ и $$\mu = const$$, то в начальный момент работы системы $$Г(t)\approx P(t)$$

При маленьких $$t$$ можно $$Г(t)\approx 1 - \frac{t}{m_t}$$