АМСОИ (10) - Лекция №1 - СМО

Системы и сети массового обслуживания

Массовое обслуживание

СМО

Системы массового обслуживания.

Здесь:

• $$\lambda$$ - интенсивность входного потока заявок;
• $$\nu$$ - интенсивность обслуживания. Отношение дисперсии к квадрату матожидания;
• $$\nu^2_0$$ - квадрат коэффициента вариаций. Отношение среднего квадратического отклонения к матожиданию;
• $$\mu$$ - очередь.

Обозначения:

• $$a$$ - тип входного потока:
  • $$M$$ - пуассоновский поток;
• $$b$$ - тип обслуживания;
  • $$M$$ - экспоненциальное;
• $$c$$ - количество аппаратов;
  • $$1$$ - один обслуживающий аппарат;
• $$d$$ - ёмкость очереди;
  • $$\infty$$ - очередь бесконечна;
• $$e$$ - дисциплина выбора заявок из очереди на обслуживание;
  • $$FIFO$$ - FIFO;
• $$f$$ - количество источников заявок;
  • $$\infty$$ - бесконечный поток.

Существует Эрландовский входной поток: $$К_{эрл} = \frac{1}{\nu^2}$$

СеМО

Сеть массового обслуживания.

Параметры:

• $$\rho = \frac{\lambda}{\mu} < 1$$ - загрузка системы;
• $$Q$$ - количество заявок в очереди;
• $$L = Q + \rho$$ - количество заявок в системе;
• $$W$$ - время ожидания (время нахождения в очереди);
• $$T = W + \frac{1}{\mu} = W + t_0$$ - время нахождения в системе.

Расчёт загрузки:

	СМО M/M/1	СМО M/M/2
$$\rho$$	$$\frac{\lambda}{\mu}$$	$$\frac{\lambda}{2\cdot\mu}$$
$$Q$$	$$\frac{\rho^2}{1 - \rho}$$	$$\frac{2\cdot\rho^3}{1 - \rho^2}$$
$$L$$	$$\frac{\rho}{1 - \rho}$$	$$\frac{2\cdot\rho}{1 - \rho^2}$$
$$W$$	$$\frac{\rho\cdot t_0}{1 - \rho}$$	$$\frac{\rho^2\cdot t_0}{1 - \rho^2}$$
$$T$$	$$\frac{t_0}{1 - \rho}$$	$$\frac{t_0}{1 - \rho^2}$$

$$Q = \lambda\cdot W$$

$$L = \lambda\cdot T$$

Зависимость примерно такая:

Дальше что-то происходит:

$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{2\cdot\rho^3\cdot (1 - \rho)}{(1 - \rho^2)\cdot \rho^2} = \frac{2\cdot\rho}{1 + \rho}$$

$$\frac{L_2}{L_1} = \frac{2\cdot\rho\cdot (1 - \rho)}{(1 - \rho^2)\cdot \rho} = \frac{2}{1 + \rho}$$

$$\frac{T_2}{T_1} = \frac{t_{02}\cdot\ (1 - \rho)}{(1 - \rho^2)\cdot t_{02} } = \frac{\mu_1}{\mu_2\cdot (1 + \rho)} = \frac{2}{1 + \rho}$$

Один обслуживающий аппарат более эффективен, чем два, равных в сумме ему по производительности. Поэтому выбирая между одним, обрабатывающим 10 заявок в час, и двумя, в сумме оба тоже обрабатывающими 10 в час, надо выбирать его.

Домашнее задание №1

Выбрать, какая система обслуживания в магазине будет лучше.

Одновременно в системе (магазине) может находиться 3, 6 или 10 покупателей.

Промоделировать можно на модели из курсового прошлого семестра: рабочие станции с нулевым временем. Для первого варианта схемы канал с временем 0.01, а остальное - сервер и диски. Для второго варианта: канал, сервер, диск.